Heißt das

auf dem oder am Haken hängen,
über oder auf dem Stuhl hängen (wenn direkter Kontakt zum Stuhl gemeint ist),
über oder auf der Heizung liegen(wenn direkter Kontakt zur Heizung gemeint ist),
an der oder in der Garderobe hängen.
Der Schwamm liegt an der Tafel (wenn unter der Tafel auf dem Extrabrettchen wie es bei allen Tafeln üblich ist)
Der Vorhang hängt an der oder auf der Gardinenstange.
Der Hut ist am oder auf der Kleiderständer.

Ich denke, dass bei dem Haken, dem Stuhl und Heizung beide gehen.
Kleidung hängt man nicht in die Garderobe, und Schwämme leg ich auf das Brettchen, wüsste nicht, wie sonst.
Der Vorhang hängt an der Gardinenstange , der Hut ist am oder auf dem Kleiderständer.

Hoffe ich konnte dir helfen.

Hallo Rika,

hier meine Antwort (unterstrichen), wobei ich mir sicher bin, dass man sich ueber das eine oder andere "streiten" koennte:

auf dem oder am Haken hängen,

über oder auf dem Stuhl hängen (wenn direkter Kontakt zum Stuhl gemeint ist),

über oder auf der Heizung liegen(wenn direkter Kontakt zur Heizung gemeint ist),

an der oder in der Garderobe hängen.

Der Schwamm liegt an der Tafel (wenn unter der Tafel auf dem Extrabrettchen wie es bei allen Tafeln üblich ist)
Hier wuerde ich eher "auf der Ablage" sagen.

Der Vorhang hängt an der oder auf der Gardinenstange.

Der Hut ist am oder auf der Kleiderständer.
"Haengen" ist hier das bessere Verb. Ansonsten kannst du auch sagen: Der Hut liegt auf der Hutablage, einige Garderoben/Kleiderstaender haben so etwas.

So viel von meiner Seite.

Gruss,
Franca